Τρίτη, 20 Ιουνίου 2017

Electromagnetism a la Mendeleev - C-17

Ηλεκτρομαγνητισμός αλά Mendeleev
-C-17-


C. Ηλεκτροδυναμική
Τετραδιάστατος Χώρος (2) - Ηλεκτρομαγνητική Ένταση

--------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------

είδαμε τον τρόπο ενοποίησης των δύο Δυναμικών
του Μαγνητικού Δυναμικού (A) και του Ηλεκτρικού Δυναμικού (V)

\vec \boldsymbol{A} =
\begin{bmatrix}
    A_x\\
    A_y\\
    A_y\\
    -V/c \\
\end{bmatrix}
Το νέο 4-διάνυσμα του
Ηλεκτρομαγνητικού Δυναμικού
προέκυψε
όπως γινόταν συνήθως
με απλή ενσωμάτωση
του Ηλεκτρικού Δυναμικού (V)
στην 3-μήτρα του Μαγνητικού Δυναμικού (A)

Ήταν τόσο εύκολο ...
ακολουθούσε, ακριβώς, την μεθοδολογία που είχαμε περιγράψει
στο Μέρος C- 11 (πέρασμα από τον Μονοδιάστατο στον Δισδιάστατο Χώρο) και
στο Μέρος C- 13 (πέρασμα από τον Δισδιάστατο στον Τρισδιάστατο Χώρο)

Τώρα θα δούμε που ενοποιούνται οι αντίστοιχες Εντάσεις
δηλ. η Μαγνητική Ένταση (B) και η Ηλεκτρική Ένταση (E)

Ας γράψουμε αναλυτικά τις εξισώσεις που έχουμε στην διάθεσή μας:
- Πρώτα, για το Μαγνητικό Πεδίο:


\overset \rightharpoonup {B} = 
\begin{bmatrix}
      B_x \\ 
      B_y \\ 
      B_z \\
\end{bmatrix}

- Ακολούθως, για το Ηλεκτρικό Πεδίο


\vec{E} = 
\begin{bmatrix}
E_x & E_y & E_z 
\end{bmatrix}

Η πρώτη αυθόρμητη σκέψη είναι να κάνουμε ότι και στα προηγούμενα
Να επιπροσθέσουμε στο 3-διάνυσμα της Μαγνητικής Έντασης (B)
το 3-διάνυσμα της Ηλεκτρικής Έντασης (E)

Αμ ...δε.
Προκύπτει ένα 6-διάνυσμα που απορρίπτεται, δια ροπάλου,
(στον Τετραδιάστατο Χώρο που βρισκόμαστε)

Στο σημείο αυτό έπεσε τεράστια αμηχανία στον κόσμο των Θεωρητικών Φυσικών

Συνήθως
πολλά από αυτά που σήμερα φαίνονται
ασήμαντα μικροπροβλήματα
ταλάνισαν
τους Φυσικούς για αιώνες
καθώς
μία μικρή εσφαλμένη εκτίμηση του τρόπου της λύσης
είναι ικανή να σε στείλει να περιπλανάσαι ατερμόνως
σε μαθηματικά αδιέξοδες διαδρομές.

Χύθηκαν "τόννοι μελάνης" στις εργασίες των ερευνητών
μέχρι να κατανοηθεί ότι το διάνυσμα της Μαγνητικής Έντασης (Β)
δεν ήταν ένα αληθές διάνυσμα (true-vector) αλλά
ένα ψευδο-διάνυσμα (pseudo-vector)


\overset \rightharpoonup {B}  = 
\begin{bmatrix}
B_x \\
B_y \\
B_z
\end{bmatrix}
Τα ψευδο-διανύσματα,
το σωστό είναι
να συμβολίζονται με "μισό" βέλος
ώστε να διακρίνονται από τα αληθή

- Τι επιπτώσεις έχει αυτό?
Απλά,
η ψευδής Μαγνητική Ένταση (Β) ενώ παραμένει αναλλοίωτη
στον μετασχηματισμό της Χωρικής Περιστροφής (space rotation)
ωστόσο αλλάζει πρόσημο (η τιμή της, όμως, παραμένει αναλλοίωτη)
κατά τον μετασχηματισμό της Χωρικής Αντιστροφής (space inversion)

- Τι σημαίνει αυτό?
Αυτό σημαίνει ότι τα αποτελέσματα των μετρήσεων
ναι μεν παραμένουν αναλλοίωτα ανεξάρτητα αν
το Σύστημα Συντεταγμένων
του παραλήπτη-Παρατηρητή που τις λαμβάνει
είναι στραμμένο κατά οποιαδήποτε γωνία
σε σχέση με το Σύστημα Συντεταγμένων
του αποστολέα-Πειραματιστή που τις καταμετρεί
όμως..
εφόσον τα Συστήματα Συντεταγμένων τους
είναι ανάστροφα (δεξιόστροφο το ένα και αριστερόστροφο το άλλο)
τότε η Αναλλοιότητα καταστρέφεται.


Coordinate-System-Handedness-01-goog.png
Δεξιά:
το "ορθόδοξο" Σύστημα (σύμφωνα με την Φυσική)
που αποκαλείται δεξιόστροφο
Αριστερά:
το "ανορθόδοξο" Σύστημα
που αποκαλείται αριστερόστροφο

Η ανακάλυψη του μαθηματικού μεγέθους
που αναπαριστά την "αληθή" Μαγνητική Ένταση (Β)
ήταν, πραγματικά, ένα επιστημονικό άλμα:

Πρώτα, βέβαια, έπρεπε να κατανοηθεί η μαθηματική σχέση που συνδέει
ένα "ψευδές" μαθηματικό μέγεθος με ένα "αληθές"
Αυτή είναι:

\overset \rightharpoonup {B}  = \operatorname{dual}  \vec \boldsymbol{B}
Ο τελεστής dual
εκφράζει μία γεωμετρική δυικότητα
και εδράζεται στα περίφημα σύμβολα Levi-Civita

Στην συνέχεια, μετά την επίπονη επίτευξη της κατανόησης του τελεστή dual,
έγινε δυνατόν να διακριβωθεί ο τανυστής που αναπαριστά
την αληθή Μαγνητική Ένταση (Β)


\vec \boldsymbol{B} =
\begin{bmatrix}
0 & B_z & -B_y \\
-B_z & 0 & B_x \\
B_y & -B_x & 0
\end{bmatrix}
Η Ένταση του Μαγνητικού Πεδίου
αντίθετα με την Ένταση του Ηλεκτρικού Πεδίου
(που είναι ένα διάνυσμα με μήτρα 3x1)
είναι ένας τανυστής με μήτρα 3x3

Τώρα, όσον αφορά την Ηλεκτρική Ένταση (E)
αυτή όπως προείπαμε δεν είχε τα ίδια προβλήματα
Είναι αναλλοίωτη και ως προς
τους δύο αυτούς μετασχηματισμούς του Τρισδιάστατου Χώρου
(δηλ. την Χωρική Περιστροφή (space rotation)
και την  Χωρική Αντιστροφή (space inversion))

Όταν, όμως, έγινε η προσπάθεια μεταφοράς της στον Τετραδιάστατο Χώρο
τότε διαπιστώθηκε ότι
ναι μεν παραμένει αναλλοίωτη
στον μετασχηματισμό της Χρονικής Περιστροφής (ή αλλιώς Προώθησης) (time boost)
αλλά αλλάζει πρόσημο (η τιμή της παραμένει αναλλοίωτη)
ως προς τον μετασχηματισμό της Χρονικής Αναστροφής (time reversal)

- Τι σημαίνει αυτό?
Αυτό σημαίνει ότι τα αποτελέσματα των μετρήσεων
ναι μεν παραμένουν αναλλοίωτα ανεξάρτητα αν
το Σύστημα Συντεταγμένων
του παραλήπτη-Παρατηρητή που τις λαμβάνει
είναι στραμμένο κατά οποιαδήποτε γωνία
σε σχέση με το Σύστημα Συντεταγμένων
του αποστολέα-Πειραματιστή που τις καταμετρεί
όμως..
εφόσον τα Συστήματα Συντεταγμένων τους
είναι ανάστροφα (ορθόχρονο το ένα και αντίχρονο το άλλο)
τότε η Αναλλοιότητα καταστρέφεται.

Systems-Coordinates-04-goog.png
Δεξιά:
το "ορθόδοξο" Σύστημα (σύμφωνα με την Φυσική)
που αποκαλείται ορθόχρονο
Αριστερά:
το "ανορθόδοξο" Σύστημα
που αποκαλείται αντίχρονο----
(ο άξονας z δεν μπορεί να παρασταθεί
στο τρισδιάστατο σχήμα
και μπορεί να θεωρηθεί
ότι επικαλύπτεται
είτε από τον άξονα x είτε από τον άξονα y)

Επομένως, έπρεπε να ακολουθηθεί μία σχεδόν παρόμοια διαδικασία
με την προηγούμενη της Μαγνητικής Έντασης.

Δηλαδή, να βρεθεί ένας τανυστής με μήτρα 4x4
που να παραμένει αναλλοίωτος στην Χρονική Αναστροφή (time reversal)

\vec {E}  = \operatorname{dual}  \vec \boldsymbol{E}
Αυτός ο τελεστής dual
δεν είναι ίδιος με τον αντίστοιχο
της Μαγνητικής Έντασης
εφόσον εδώ εμπλέκεται η χρονική συνιστώσα

Έτσι μέσω της δυικότητας ανιχνεύθηκε η κατάλληλη 4x4 μήτρα
που θα αναπαριστούσε τον τανυστή αυτόν.
Αυτό ήταν το δεύτερο άλμα προς τον τελικό θρίαμβο

\vec\boldsymbol{E} =
\begin{bmatrix}
       0 & 0 & 0 & E_x /c \\
       0 & 0 & 0 & E_y /c \\
       0 & 0 & 0 & E_z /c \\
      -E_x /c  & -E_y /c  & -E_z /c  & 0 \\
\end{bmatrix}


Από την στιγμή που βρέθηκαν οι δύο μήτρες
που αναπαριστούσαν, αναλλοίωτα, τις Εντάσεις των δύο Πεδίων
το "κούμπωμα" των δύο μητρών τους ήταν, πλέον, απλούστατη υπόθεση.
Το νέο φυσικό μέγεθος που προέκυψε από την "συγκατοίκηση"
των Εντάσεων των δύο Πεδίων
είναι η Ηλεκτρομαγνητική Ένταση (B)

\boldsymbol{\vec B} =
\begin{bmatrix}
       0  & B_z & -B_y & E_x /c \\
     -B_z  & 0 & B_x & E_y /c \\
      B_y  & -B_x & 0 & E_z /c \\
      -E_x /c  & -E_y /c  & -E_z /c  & 0 \\
\end{bmatrix}
Ο συμβολισμός με το έντονο βέλος
διακρίνει την  4-διάστατη Ηλεκτρομαγνητική Ένταση (B)
από την 3-διάστατη Μαγνητική Ένταση (B)

Όπως είναι προφανές, η Ηλεκτρομαγνητική Ένταση (B)
κληρονομεί τα πλεονεκτήματα των συνιστωσών της
Έτσι είναι αναλλοίωτη και στους 4 μετασχηματισμούς Στροφής
- την Χωρική Περιστροφή (space rotation)
- την Χωρική Αντιστροφή (space inversion)
- την Χρονική Περιστροφή (ή αλλιώς Προώθηση) (time boost)
- την Χρονική Αναστροφή (time reversal)

Η ανακάλυψη του τρόπου που τα μεγέθη του Ηλεκτρικού και Μαγνητικού Πεδίου
συμβιώνουν στον κοινό "Ηλεκτρομαγνητικό Οίκο"
ήταν από τις μεγαλύτερες στην εξέλιξη της Ανθρώπινης Διάνοιας
και απογείωσε
- τόσο την κατανόηση της Φύσης
- όσο και την εξέλιξη της Τεχνολογίας.

----
Πρέπει, ενδεχομένως, και ο Λειχήνας (συμβίωση Μύκητα - Φύκους)
να θεωρηθεί απώτατος απόγονος αυτής
της εντυπωσιακής συμβίωσης Ηλεκτρικού και Μαγνητικού Πεδίου,
ως ένα τυχαίο παράγωγο προϊόν,
στην μακρότατη εξελικτική διαδικασία της Φύσης.

Μπορούμε να δούμε στην παρακάτω εικόνα του Λειχήνα
πόσο πολύ προσομοιάζει ο τρόπος που
- ο (κιτρινωπός) Μύκητας
αγκαλιάζει "προστατευτικά" και υποστηρικτικά
- το (πρασινωπό) Φύκος
με την δομή της Ηλεκτρομαγνητικής μήτρας όπου
- το 4x4 Ηλεκτρικό της τμήμα
ενσωματώνει ανάλογα (!!)
- το 3x3 Μαγνητικό τμήμα

Lichen-Structure-01-goog.jpg
Ο Λειχήνας (Lichen)
είναι συμβιωτικός βιο-οργανισμός
που αποτελείται από δύο οργανισμούς.
Αυτοί είναι:
- Ο Μύκητας (Fungus) που παρέχει το ύδωρ κλπ
- Το Φύκος (Alge) που παρέχει την ενέργεια μέσω φωτοσύνθεσης

-----
Στο επόμενο θα συνεχίσουμε με την "κατασκευή"
ενός ακόμη τετραδιάστατου Φυσικού Μεγέθους
της Φορτορρευματικής Έντασης (J)

-------------------------------------------------------------------
Εδώ βρίσκουμε τα περιεχόμενα της θεματικής ενότητας
--------------------------------------------------------------------



Δεν υπάρχουν σχόλια: