Σάββατο, 17 Ιουνίου 2017

Electromagnetism a la Mendeleev - C-16

Ηλεκτρομαγνητισμός αλά Mendeleev
-C-16-


C. Ηλεκτροδυναμική
Τετραδιάστατος Χώρος (2) - Ηλεκτρομαγνητικό Δυναμικό

--------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------

Μετά τα προλεγόμενα (στο προηγούμενο Μέρος C-15)
για την επικείμενη μετάβαση από τον Τρισδιάστατο στον Τετραδιάστο Χώρο
θα προχωρήσουμε στην ουσία της διαδικασίας

Όπως είναι γνωστό, αφήσαμε στο Μέρος C-14
το Τρισδιάστατο Φυσικό Μοντέλο
με κατεστραμμένη Οικουμενική Συμμετρία (Global symmetry)
ως αποτέλεσμα των τρισκατάρατων  "Επαγωγικών Φαινομένων"


\begin{array}{l}
    \vec{E} = - \operatorname{grad} V - \frac{\partial} {\partial t} \vec A \\
    \vec{B} = \operatorname{curl} \vec A \\
    Q = \operatorname{div} \vec D \\
    \vec{J} = \operatorname{curl} \vec H - \frac{\partial} {\partial t} \vec D \\
\end{array}
όπου:
E, B, Q, J = Δυναμικά Φυσικά Μεγέθη
V, A, D, H = Δυνητικά Φυσικά Μεγέθη
grad, div, curl = Διαφορικοί Τελεστές
∂/∂t = η χρονική παράγωγος
που καταστρέφει την Οικουμενική Συμμετρία

Ας ξεκινήσουμε με την πρώτη εξίσωση
που αφορά το Ηλεκτρικό Πεδίο
και που εμπεριέχει
το Ηλεκτρικό Δυναμικό (V) και Μαγνητικά Δυναμικά (Ax, Ay, Az)

Το πρώτο που μπορούμε να παρατηρήσουμε
είναι ότι αυτή η εξίσωση (καθώς και η τέταρτη)
εξ αιτίας του πρόσθετου όρου της
καταστρέφει την Οικουμενική Συμμετρία (Global symmetry)

 \vec{E} = - \operatorname{grad} V - \frac{\partial} {\partial t} \vec A
E = Ηλεκτρική Ένταση
V =  Ηλεκτρικό Δυναμικό
A = Μαγνητικό Δυναμικό
grad = Τελεστής "Κλίση"
∂/∂t = η χρονική παράγωγος

Αυτή είναι μία διανυσματική εξίσωση
Ας την γράψουμε αναλυτικά:


\begin{array}{l}
E_x = -\frac{\partial} {\partial x} V - \frac{\partial} {\partial t} A_x\\
E_y= -\frac{\partial} {\partial y} V - \frac{\partial} {\partial t} A_y\\
E_z= -\frac{\partial} {\partial z} V - \frac{\partial} {\partial t} A_z
\end{array}

Παρατηρούμε ότι προσομοιάζει επακριβώς
με την αντίστοιχη εξίσωση για το Μαγνητικό Πεδίο

 \vec B = \operatorname{curl} \vec A
όπου:
Β = Μαγνητική Ένταση
Α= Μαγνητικό Δυναμικό
curl = Τελεστής "Στροβιλισμός"

Ας την γράψουμε επίσης αναλυτικά:


\begin{array}{l}
B_x = \frac{\partial}{\partial y} A_z - \frac{\partial}{\partial z} A_y \\
B_y = \frac{\partial}{\partial z} A_x - \frac{\partial}{\partial x} A_z  \\
B_z = \frac{\partial}{\partial x} A_y - \frac{\partial}{\partial y} A_x \\
\end{array}

Βλέποντας, προσεκτικά, αυτές τις 6 εξισώσεις (3 ηλεκτρικές και 3 μαγνητικές)
παρατηρούμε ότι σε αυτές
κάθε ένα από τα Μαγνητικά Δυναμικά (Ax, Ay, Az) εμφανίζεται 3 φορές
ναι ... αλλά και
το Ηλεκτρικό Δυναμικό (V) εμφανίζεται επίσης 3 φορές.

Επομένως, θα μπορούσαμε, λογικά σκεπτόμενοι,
να θεωρήσουμε το Ηλεκτρικό Δυναμικό (V)
ως την τέταρτη συνιστώσα ενός "νεότευκτου" τετραδιάστατου μεγέθους,
του Ηλεκτρομαγνητικού Δυναμικού (A)


\vec \boldsymbol{A} =
\begin{bmatrix}
    A_x\\
    A_y\\
    A_y\\
    -V/c \\
\end{bmatrix}
Η ταχύτητα του φωτός (c)
εμφανίζεται στον τύπο
για λόγους συμβατότητας
μονάδων μέτρησης
και συνοπτικά

\vec \boldsymbol{A} =
\begin{bmatrix}
    \vec A\\
    -V/c \\
\end{bmatrix}


----
Συμπέρασμα:
Είναι εντυπωσιακό αλλά και γοητευτικό να βλέπει κάποιος 
πως η αύξηση των Διαστάσεων 
ενοποιεί τα Φυσικά Μεγέθη
και λύνει τα όποια προβλήματα συμμετρίας εμφανίζονται

-----
Στο επόμενο θα συνεχίσουμε με την "κατασκευή"
ενός ακόμη τετραδιάστατου Φυσικού Μεγέθους
της Ηλεκτρομαγνητικής Έντασης (Β)

-------------------------------------------------------------------
Εδώ βρίσκουμε τα περιεχόμενα της θεματικής ενότητας
--------------------------------------------------------------------



Δεν υπάρχουν σχόλια: