Παρασκευή, 9 Ιουνίου 2017

Electromagnetism a la Mendeleev - C-13

Ηλεκτρομαγνητισμός αλά Mendeleev
-C-13-


C. Ηλεκτροδυναμική
Παράδειγμα: Τρισ-διάστατος Χώρος (1)

--------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------

Στο προηγούμενο Μέρος C-12 είχαμε αφήσει τους
Δισδιάστατους Θεωρητικούς Φυσικούς
να "κλαίνε" και να "οδύρονται"
καθώς τα νεοεμφανισθέντα "Επαγωγικά Φαινόμενα"
κατέστρεφαν την Οικουμενική Συμμετρία (global symmetry)
οπότε δεν διασφαλίζονταν η Αναλλοιότητα των Φυσικών Νόμων

Αποτέλεσμα εικόνας για cry people
Η απελπισία και η απόγνωση
των Δισδιάστατων Θεωρητικών Φυσικών
(όταν συνειδητοποίησαν
την πλήρη κατάρρευση
του Δισδιάστατου Φυσικού Μοντέλου)
ήταν απερίγραπτη

Ας θυμηθούμε πως είχε η κατάσταση των Φυσικών Νόμων
του "Δισδιάστατου Φυσικού Μοντέλου"
μετά την επιπρόσθεση όρων από τα πειράματα
που περιείχαν την "καταραμένη" παράμετρο (z)
που κατέστρεφε ολοκληρωτικά την Οικουμενική Συμμετρία (global symmetry)


\begin{array}{l}
    \vec{E} = - \operatorname{grad} V \\
    E_z= - \frac{\partial} {\partial z} V \\
    B_z = \operatorname{curl} \vec A \\
    B_x = \frac{\partial}{\partial y} A_z - \frac{\partial}{\partial z} A_y \\
    B_y = \frac{\partial}{\partial z} A_x - \frac{\partial}{\partial x} A_z  \\
    Q = \operatorname{div} \vec D + \frac{\partial}{\partial z} D_z \\
    J_z = \operatorname{curl} \vec H \\
    J_x = \frac{\partial}{\partial y} H_z - \frac{\partial}{\partial z} H_y \\
    J_y = \frac{\partial}{\partial z} H_x - \frac{\partial}{\partial x} H_z  \\
\end{array}
Υπενθύμιση:
grad = ο Τελεστής, Κλίση
curl = ο Τελεστής, Στροβιλισμός
div =  ο Τελεστής, απόκλιση
Η κατάσταση είναι όμοια με αυτή που περιγράφηκε για την Κίνηση
στο Μέρος C-06

Μόνη λύση, λοιπόν, στο αδιέξοδο
ήταν η αναβάθμιση της "καταραμένης" παραμέτρου (z)
σε Διάσταση
ώστε να απορροφηθεί από γενικευμένους Διαφορικούς Τελεστές
και έτσι να "εξοβελισθεί" η παρουσία της από τις εξισώσεις του Μοντέλου

Βέβαια, η αναβάθμιση μιας παραμέτρου σε Διάσταση
δεν ήταν κάτι που θα μπορούσε εύκολα να "καταποθεί αμάσητο"
καθώς σήμαινε
την αποδοχή εκ μέρους των Δισδιάστατων Ανθρώπων
του γεγονότος ότι ο Χώρος τους δεν ήταν
Δισ-διάστατος όπως, τους βεβαίωνε η αισθητηριακή εμπειρία τους
αλλά
Τρισ-διάστατος όπως, τους υποδείκνυαν κάποιες μαθηματικές εξισώσεις (!)
Ε ... και αυτό ήταν μία βαθεία προκατάληψη
που δεν μπορούσε, εύκολα, να υπερνικηθεί.

Flatland-04-goog.png
Μόνο αν κάποιος Τρισδιάστατος Άνθρωπος
"ξεκολλούσε" έναν Δισδιάστατο
από τον Δισδιάστατο Χώρο του
θα μπορούσε ο αυτός
αποκτώντας τρισδιάστατη αισθητηριακή εμπειρία
να πεισθεί για την ανάγκη
επιπρόσθεσης μίας νέας Διάστασης

Πολλοί θεώρησαν ότι πίσω από την αύξηση των Διαστάσεων
κρύβεται κάποιο είδος συνωμοσίας.


Ωστόσο, καθώς δεν υπήρχε άλλη διέξοδος
οι Θεωρητικοί Φυσικοί
προχώρησαν στην κατασκευή του νέου
"Τρισδιάστατου Φυσικού Μοντέλου"

Έχουμε λοιπόν
σε αντιδιαστολή με όσα αναφέρθηκαν στο Μέρος C-07
1) Ηλεκτρικό Πεδίο
     α) Παύει πλέον η διαφορετικότητα μεταξύ του
         "κανονικού Ηλεκτρικού Πεδίου" και "κατακόρυφου Ηλεκτρικού Πεδίου"
          καθώς η Ηλεκτρική Ένταση αναβαθμίζεται, πλέον,
          σε ένα συναλλοίωτο 3-διάνυσμα με μήτρα (1x3)


\vec{E} = 
\begin{bmatrix}
E_x & E_y & E_z 
\end{bmatrix}

     β) Το Ηλεκτρικό Δυναμικό παραμένει ως έχει
          δηλ. βαθμωτό με μήτρα (1x1)
V =   
\begin{bmatrix}
V\\
\end{bmatrix}

2) Μαγνητικό Πεδίο
     α) Παύει πλέον η διαφορετικότητα μεταξύ του
         "κανονικού Μαγνητικού Πεδίου" και του
         "διαμήκους" /"εγκάρσιου" Μαγνητικού Πεδίου
          καθώς η Μαγνητική Ένταση αναβαθμίζεται, πλέον,
          σε ένα 3-διάνυσμα με μήτρα (3x1)


\vec{B} = 
\begin{bmatrix}
      B_x \\ 
      B_y \\ 
      B_z \\
\end{bmatrix}

     β) Το Μαγνητικό Δυναμικό αναβαθμίζεται, πλέον,
          σε ένα συναλλοίωτο 3-διάνυσμα με μήτρα (1x3)


\vec{A} = 
\begin{bmatrix}
A_x & A_y & A_z 
\end{bmatrix}

3) Ηλεκτρικό Φορτίο
    α) Η Φορτιακή Πυκνότητα παραμένει ως έχει
          δηλ. βαθμωτό με μήτρα (1x1)
Q =   
\begin{bmatrix}
Q\\
\end{bmatrix}

     β) Το Φορτιακό Δυναμικό αναβαθμίζεται, πλέον,
          σε ένα 3-διάνυσμα με μήτρα (3x1)
 \overset \rightharpoonup {D} = 
\begin{bmatrix}
     D_x \\ 
     D_y \\
     D_z \\
\end{bmatrix}

4) Ηλεκτρικό Ρεύμα
     α) Παύει πλέον η διαφορετικότητα μεταξύ του
         "κανονικού Ηλεκτρικού Ρεύματος" και του
         "διαμήκους" /"εγκάρσιου" Ηλεκτρικού Ρεύματος
          καθώς η Ρευματική Ένταση αναβαθμίζεται, πλέον,
          σε ένα 3-διάνυσμα με μήτρα (3x1)
\vec J =   
\begin{bmatrix}
    J_x\\
    J_y\\
    J_z\\
\end{bmatrix}

     β) Το Ρευματικό Δυναμικό αναβαθμίζεται, πλέον,
          σε ένα 3-διάνυσμα με μήτρα (3x1)
\vec{H} =
\begin{bmatrix}
    H_x\\
    H_y\\
    H_z\\
\end{bmatrix}

-------
Σημαντικό ρόλο στην διατύπωση των εξισώσεων
έπαιξε η "διαστατική γενίκευση" του τελεστή "Ανάδελτα"

\vec \nabla =
\begin{bmatrix}
    \frac{\partial} {\partial x}\\
    \frac{\partial} {\partial y}\\
    \frac{\partial} {\partial z}\\
\end{bmatrix}

Οπότε, με την βοήθεια αυτού του τελεστή,
οι εννέα εξισώσεις που αναφέρονται στην αρχή
μπορούν να γραφούν:


\begin{array}{l}
    \vec E = - \vec \nabla \cdot  V \\
    \vec B = \vec \nabla  \times \vec A \\
    Q = \vec \nabla \;\boldsymbol{\cdot}\; \vec D \\
    \vec J = \vec \nabla \times \vec H \\
\end{array}

Και τελικά,
κάνοντας χρήση των "διάσημων" "Διαφορικών Τελεστών"
(που γενικεύθηκαν, αντίστοιχα, ώστε να προσαρμοστούν,
στην νέα δισ-διάστατη πραγματικότητα)
έχουμε:


\begin{array}{l}
    \vec{E} = - \operatorname{grad} V \\
    \vec{B} = \operatorname{curl} \vec A \\
    Q = \operatorname{div} \vec D \\
    \vec{J} = \operatorname{curl} \vec H \\
\end{array}

Οι παραπάνω εξισώσεις είναι ακριβώς αντίστοιχες
με τις εξισώσεις των προηγούμενων μοντέλων
     α) "Δισδιάστατο Φυσικό Μοντέλο" (αναφέρθηκε στο Μέρος C-11)
     β) "Μονοδιάστατο Φυσικό Μοντέλο" (αναφέρθηκε στο Μέρος C-07)
και συναποτελούν το "Δισδιάστατο Φυσικό Μοντέλο"

Το "Τρισδιάστατο Φυσικό Μοντέλο", λοιπόν, λειτουργεί θαυμάσια
καθόσον διαθέτει Οικουμενική Συμμετρία (global symmetry)
οπότε διασφαλίζει την Αναλλοιότητα των Φυσικών Νόμων
και επομένως
όλοι οι Τρισδιάστατοι Παρατηρητές
λαμβάνουν, ακριβώς, τα ίδια αποτελέσματα,
σε οποιοδήποτε σημείο του Τρισδιάστατου Σύμπαντός τους,
κι αν βρίσκονται.

Αποτέλεσμα εικόνας για people relax pool hotel
Μετά από
τον μαθηματικό άθλο τους
ικανοποιημένοι
οι Τρισ-διάστατοι Θεωρητικοί Φυσικοί
από το επιτυχές αποτέλεσμα
ρηλαξάρουν σε τροπική πισίνα
-------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------

Δεν υπάρχουν σχόλια: